Martín Vázquez ha iniziato la sua carriera da professionista nelle giovanili del Real Madrid, prima di trasferirsi al club satellite del Castilla. Nel 1983 è tornato al Real Madrid dove ha giocato per 10 stagioni. In carriera Martín Vázquez ha anche difeso i colori del Torino Calcio, dell'Olympique de Marseille, del RC Deportivo La Coruña, del CA Celaya e del Karlsruher SC. Ha vestito per 33 volte la maglia della nazionale e ha vinto sei scudetti, una Coppa UEFA e due volte la Coppa del Re.
Oggi è un apprezzato manager ed in particolare nel 2003 si è occupato dell'organizzazione delle Olimpiadi Speciali che si disputano in Spagna.